El asalto artificial a una conjetura
Erdős y el momento Lee Sedol de los matemáticos
El mundo estaba destrozado.
Algunos decían que resultaba obsceno volver a pensar ya en la alegría. Que ya no podría volver a hacerse poesía o metafísica sino como una blasfemia después de lo ocurrido.
Pero Paul, con los números en la mano, no estaba de acuerdo.
Quizá no pudiera erigir un programa como el de David. Un programa desafiante, capaz de estimular la maquinaria del intelecto al servicio del conocimiento. Pero Paul creía que al menos era necesario seguir sembrando semillas, repartiendo esporas que como un contagio incentivaran el ingenio humano por el nuevo descubrimiento, por la superación, por la creación.
Por eso, una vez emigrado huyendo por su condición judía, Paul ya siempre se sintió apátrida y vivió como un nómada, con una maleta ligera en la mano y una obsesión pesada en la cabeza, empeñada en deambular con su cuaderno de notas y su creciente red de colegas con el propósito de inspirar el futuro. Porque si la poesía o la metafísica no eran capaces, lo serían las matemáticas.
Planteando nuevas conjeturas, nuevos problemas tan sencillos de elucubrar como complejos de resolver, ayudaría a sostener la maquinaria imaginativa humana que es capaz de elevarse hacia ese mundo de las ideas platónico donde la exactitud y la certeza de las matemáticas irradian una belleza que sonroja incluso al mayor de los horrores y holocaustos. Por mucho que algunos pensaran que los campos de concentración habían sido una consecuencia inexorable de ese pensar racional y dominador del idealismo que desprecia la imperfecta realidad. Las matemáticas exhalan belleza inspiradora.
Después de Auschwitz, era posible seguir haciendo matemáticas. Y por eso Paul Erdős — que llevaba ya ocho años exiliado en EEUU desde su Hungría natal — seguía publicando artículos a un ritmo que lo acabaría coronando, junto a Euler, como el más prolífico de los matemáticos hasta la fecha1. Y eso que había sufrido mucho en su vida2. Nómada inquieto por necesidad o por convicción, iba de universidad en universidad y de casa de un colega a la de otro sembrando nuevos desarrollos, nuevos ejercicios y nuevas conjeturas con las que incitaba a la comunidad matemática a moverse. Porque tras ella suele moverse la humanidad entera, apoyándose en sus descubrimientos para comprender y habitar mejor el mundo. El esfuerzo por resolverlas volvería a resultar fecundo.
Y, de hecho, su labor dejó una amplia huella en la teoría de números, la combinatoria, la teoría de grafos y la probabilidad, y revitalizó la formulación de problemas como herramienta de creación tan fecunda como la demostración de teoremas. A pesar de que su especialidad era aquella matemática que durante mucho tiempo fue vista como menor, demasiado finita, demasiado concreta, demasiado cercana al juego, buena parte de la ciencia de redes, de la teoría de la información o de la informática teórica beben de su tradición.
Lo que quizá no imaginaba Erdős es que una de aquellas conjeturas, la que publicó en 1946 acabada la guerra y que cuando falleció medio siglo después seguía irresuelta, a pesar de innumerables esfuerzos durante ocho décadas, la acabaría resolviendo alguien — o más bien algo — que no era humano.
Los 23 problemas
En 1900, David Hilbert planteó en París una larga lista de los problemas más desafiantes que los matemáticos del siglo XX enfrentarían, convirtiéndola en un estimulante programa abierto. Aunque en la conferencia sólo enunció los diez primeros, acabó publicando sus 23 famosos problemas que ayudaron a fijar la agenda de la matemática moderna. Hilbert venía de renovar la geometría mediante un enfoque axiomático y tenía un prestigio reconocido. Fue por tanto sonado su planteamiento de que la vitalidad de una disciplina se mide por la densidad y la calidad de las preguntas que todavía no sabe responder. Su discurso parisino respiraba optimismo: los problemas abiertos eran prueba de que la matemática estaba viva y de que aún quedaba futuro por conquistar.
Algunos problemas se cerraron con rapidez y de forma espectacular. El tercero, sobre la descomposición de poliedros de igual volumen3, cayó casi de inmediato. Otros se resolvieron muchas décadas después y redibujaron campos enteros, probándose — como el séptimo — o refutándose — como el décimo. Varios más quedaron esencialmente encauzados — como el decimonoveno y el vigésimo — mientras que otros se revelaron mucho más resbaladizos de lo esperado.
Los más célebres evidenciaron que una pregunta puede transformar la disciplina incluso sin hallar respuesta alguna. El primer problema, sobre la hipótesis del continuo, quedó en un territorio extraño: Gödel y Cohen mostraron que, bajo ciertos axiomas, no puede probarse ni refutarse. Las mejores preguntas — como las de la filosofía — suelen llevarnos a callejones sin salida y a aporías que, sin embargo, no desmerecen el camino recorrido. Aunque no hallemos respuesta al final de la vida, el camino de búsqueda habrá merecido la pena.
Algo parecido sucedió con el segundo de los problemas, sobre la consistencia de la aritmética, que chocó con la incompletitud de Gödel y abrió una herida filosófica que la lógica moderna aún se relame. Y muchos otros problemas se han mantenido vivos, como hipótesis abiertas y casi programáticas: el octavo, el duodécimo, el decimosexto o, cerrando el listado, el vigesimotercero, deliberadamente abierto. No todas las preguntas de Hilbert pedían una llave inmediata. Algunas se tendían como un horizonte y pedían una era.
Porque, además, algunos de estos problemas desdibujaron lo que significa resolver. Así sucedió con el sexto de ellos, que conecta de forma directa con la conversación contemporánea sobre física, formalización y poder de abstracción, y que ha llegado hasta nosotros. Hilbert aspiraba a una axiomatización total para la física, con atención particular a la teoría de probabilidades y la mecánica. El año pasado, en el 125 aniversario de su planteamiento, un trabajo proclamó haberlo resuelto derivando ecuaciones de fluidos a partir de la teoría cinética de Boltzmann. Pero recibieron algunas críticas porque atacaban una versión importante pero restringida del problema. La resolución del sexto problema quedó en el limbo. Los humanos a veces no nos ponemos de acuerdo ni siquiera con las matemáticas.
La cuestión es que los problemas de Hilbert fueron fructíferos y no solo para las matemáticas. Aunque su resolución no trajo beneficios materiales directos e inmediatos, alimentó como una capa freática pozos muy distantes. Varias de sus soluciones acabaron contribuyendo no sólo a generar nuevas herramientas matemáticas muy útiles sino también al desarrollo de tecnologías y ciencias concretas como la computación, la estadística industrial y financiera, la mecánica cuántica, la criptografía o las redes digitales4.
Por eso, cuando Paul Erdős, con apenas veinte años, tomó el relevo de la prolífica elaboración de conjeturas como las de Hilbert en una Europa convulsa allá por los años treinta del siglo pasado, extendía su herencia atmosférica a un cúmulo de muchos otros abismos a los que el programa catedralicio de Hilbert no se había asomado. Tres años después de que Hilbert falleciera, acabada la Segunda Guerra Mundial, Erdős lanzó su famosa conjetura sobre distancias unidad, quizá el problema más conocido y más fácil de explicar de la geometría combinatoria. Una conjetura asaltada hace unos días por una mano artificial.
La conjetura de Erdős
Una conjetura puede nacer en una tarde. A veces nace en un minuto. Basta ver un patrón, probar unos cuantos casos, sentir que todo encaja y atreverse a poner en palabras una sospecha. Demostrar o refutar, en cambio, exigen otro músculo mental. Ya no vale con que la idea parezca razonable; hay que volverla inevitable. Hay que cerrar todas las puertas laterales, impedir cualquier fuga lógica, blindar el argumento contra contraejemplos que quizá viven muy lejos de los ejemplos que uno ha catado. Y llevarlos hasta el infinito.
La conjetura de Erdős sobre las distancias unidad es una de ellas y fácilmente comprensible: si colocas n puntos en el plano, ¿cuántos pares pueden quedar exactamente a distancia 1? Para notar lo engañosamente simple del asunto basta un dibujo escolar: con nueve puntos en fila obtienes ocho pares consecutivos a distancia uno; con una cuadrícula (3x3) obtienes doce. ¿Cómo crece el número de relaciones a distancia uno en función del número de puntos? La pregunta parece de pasatiempo. Pero no lo es. Durante casi ochenta años ha sido una de las cuestiones emblemáticas de la geometría discreta y de la combinatoria que nadie lograba resolver.
En algunas configuraciones, por ejemplo las cuadrículas o los rectángulos, el resultado es analíticamente evidente5. Erdős conjeturó que en general el crecimiento real debía ser un poco superior al lineal y formuló su expresión6. Aunque evidentemente la verificación experimental nunca equivale a una prueba, los indicios parecían darle la razón. Pero había que demostrarlo o refutarlo fehacientemente pues en problemas asintóticos — los más traicioneros — el contraejemplo puede emerger en tamaños enormes o en construcciones tan poco naturales a ojos humanos que nadie las habría dibujado por iniciativa propia.
Sin embargo, la formulación de la propia conjetura escondía un efecto inadvertido. Durante décadas, actuó como una especie de campo gravitatorio intelectual. De alguna forma hizo que los matemáticos interiorizaran que las configuraciones tipo rejilla eran el paisaje natural del problema. Que, en esencia, Erdős tenía razón y había que concentrarse en demostrarlo. De hecho, el propio Erdős ofreció incluso una recompensa económica por salir al paso de esta intuición, y el problema acabó figurando entre sus favoritos. Cómo tratar de refutar a este buen hombre.
Una comunidad entera se ancló en esa intuición tan plausible, focalizando su energía en refinarla y, sin darse cuenta, dejó menos exploradas las direcciones heréticas. El simple hecho de dedicar tiempo a intentar refutar la conjetura, en lugar de intentar probarla, ya requería una desviación psicológica. En el fondo, algunas preguntas bien conocidas pueden ocultar frutos al alcance de una idea corta y brillante, frutos que pasan inadvertidos cuando los incentivos favorecen la especialización y los caminos ya consagrados. Y el problema de las distancias unidad parecía pertenecer a la geometría combinatoria. Pero su refutación no vendría por esa vía, sino por la teoría algebraica de números. Y no la empuñaría ningún humano.
Cuando la IA dejó de mirar desde la grada
Si uno repasa los últimos años de inteligencia artificial aplicada a las matemáticas, aparece un patrón muy claro: la transición desde sistemas que ayudan a explorar hacia sistemas que empiezan a generar conocimiento matemático defendible. El discurso de que los agentes de IA generativa son meros loros estocásticos que se limitan a calcular con asombrosa probabilidad el siguiente token va quedando cada vez más obsoleto, muriendo a golpes. Aunque sea en hitos heterogéneos, como la generación de conjeturas, la búsqueda de construcciones óptimas o el razonamiento formal y la verificación, que no siempre equivalen en sentido fuerte al “descubrimiento”. Juntos, sin embargo, dibujan una curva de maduración que ya es imposible ignorar. Y la reciente resolución de la famosa conjetura de Erdős lo ha confirmado.
Uno de los primeros hitos en este romance más reciente entre la IA y las matemáticas fue la Ramanujan Machine. En 2021, sus autores mostraron un método sistemático para generar fórmulas con fracciones continuas relacionadas con constantes fundamentales como el número pi y otras7. Más allá de comprobar la salud del método, se buscaba generar conjeturas nuevas, el tipo de materia prima que alimenta la investigación humana. Ese mismo año, DeepMind y varios matemáticos publicaron en Nature un trabajo mucho más ambicioso en su alcance metodológico: la IA no se limitaba a enumerar patrones numéricos y llegaba a guiar la intuición de especialistas en dos áreas de la matemática pura muy relevantes8. La colaboración produjo resultados matemáticos nuevos y una metodología general para usar aprendizaje automático como instrumento de descubrimiento.
A partir de ahí llegó la etapa de los buscadores de construcciones. En 2022, AlphaTensor encontró algoritmos correctos de multiplicación de matrices que mejoraban resultados existentes y superaban, por primera vez, los esquemas empleados desde 1969. Eso sucedía en la frontera entre álgebra, complejidad y diseño algorítmico, una frontera que importa mucho más de lo que parece porque la multiplicación de matrices actúa como ladrillo básico en infinidad de procedimientos científicos y computacionales. El mismo año, sistemas inspirados en AlphaGo ya estaban encontrando contraejemplos y resolviendo pequeñas preguntas abiertas en combinatoria y teoría de grafos.
En 2023 y 2024 la escala del cambio se hizo más visible y las conjeturas pendientes de Erdős entraron en escena. Un trabajo explicaba cómo AlphaZero y Tabu searh habían sido capaces de descubrir construcciones matemáticas nuevas en un espacio combinatorio inmenso, mejorando las cotas inferiores de un problema de teoría extremal de grafos sobre el que Erdős había conjeturado en 1975. PatternBoost fue aún más lejos y halló las mejores soluciones conocidas para varios problemas de esta combinatoria extremal, incluida la construcción de un contraejemplo a una conjetura abierta durante 30 años. La IA empezaba a ser una excavadora fina.
Poco después, Nature publicaba FunSearch: un sistema de IA capaz de desarrollar programas de generación de posibles soluciones que iban puliéndose en un bucle constante de mejora. Este mecanismo se enfrentó al problema de los cap sets, que busca conjuntos de puntos que cumplan una serie de reglas matemáticas muy concretas. Uno de aquellos programas depurados desde cero logró encontrar una configuración mejor que la conocida hasta entonces para aquel endiablado problema, en un caso especialmente difícil9. Pero lo más interesante y revolucionario no fue hallar esta respuesta mejorada, sino que FunSearch produjera un programa comprensible que podía generarlas. Una caña y no un pescado.
En paralelo fue avanzando otra corriente, diferente y complementaria: la del razonamiento formal. AlphaGeometry, cuyos avances se publicaron en Nature en 2024, lograba resolver 25 de los 30 problemas de las olimpiadas de geometría sin usar demostraciones humanas como datos de entrenamiento. En su lugar, se había basado en un sistema neuro-simbólico apoyado en millones de teoremas y pruebas sintéticas. Un año después, AlphaProof y AlphaGeometry mostraban que podían producir pruebas formales para tres de los seis problemas de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2024 así como para el problema geométrico correspondiente, mereciendo la máxima nota oficial por revisores humanos. Estos modelos todavía no resolvían conjeturas clásicas de la investigación y habían sido equipados con sistemas previamente orientados a las matemáticas, pero convertían la comprobación rigurosa en un territorio cada vez más automatizable.
La aceleración de 2025 y 2026 se basó en la escalabilidad de la recurrencia. AlphaEvolve encarnó un sistema de búsqueda evolutiva guiada por modelos de lenguaje aplicado a 67 problemas de análisis, combinatoria, geometría y teoría de números: redescubría muchas soluciones óptimas conocidas y mejoraba varias de ellas. El paisaje fue poco a poco tornando la sorpresa inicial en asombro sistemático: en el reto First Proof, diseñado con problemas de nivel investigador no publicados, los distintos modelos lograron resolver más de la mitad de los diez enunciados propuestos. La IA ya no estaba imitando ejercicios de exámenes. Era una candidata relevante a encargarse en serio de parte del trabajo matemático creativo.
La sorpresa ha llegado en los últimos días, cuando un modelo generalista no especializado en matemáticas ha logrado desmontar aquella conjetura de Erdős que llevaba ocho décadas en terra ignota.
El significado del golpe de OpenAI
El pasado 20 de mayo de 2026 OpenAI anunciaba que un modelo interno y generalista había refutado la conjetura central asociada al problema de las distancias unidad. La afirmación venía acompañada de dos piezas clave: un manuscrito técnico con la prueba y unas observaciones complementarias elaboradas con participación de matemáticos externos10. El artículo era prudente: no se había resuelto completamente el problema de determinar el crecimiento exacto del número de pares, pero sí se había derrumbado la creencia dominante de que las construcciones de tipo cuadrícula eran esencialmente óptimas y de que el crecimiento del número de pares debía crecer en una proporción como la que Erdős había augurado. Treinta años después de que nos dejara, Erdős ya puede descansar.
Matemáticamente, el logro es sustancial. El trabajo demuestra que, para infinitos valores de n, pueden construirse configuraciones que generan pares de puntos a distancia unidad que crecen más que lo que Erdős había conjeturado. Aunque el problema completo continúa abierto porque no sabemos exactamente la tasa de crecimiento, ahora sabemos gracias a una IA que la conjetura de Erdős era falsa: el número máximo de pares a distancia unidad puede crecer de forma polinómicamente superior, justo lo que durante casi ochenta años se había sospechado imposible.
Como sucediera con el atónito campeón Lee Sedol cuando fue vencido por AlphaGo hace una década en su archiconocido enfrentamiento, un modelo de IA ha dejado atónitos a los matemáticos de nuestro tiempo. Porque la IA ensayó caminos inexplorados durante décadas por una larga lista de campeones de las matemáticas, a pesar de que emanaban de las más altas tasas de alfabetización matemática de la historia y contaban con los medios técnicos de asistencia más desarrollados. La IA se atrevió a incurrir en unos derroteros que abandonaron la explotación intuitiva de la aritmética de las cuadrículas. Y planteó enfoques en dimensiones más altas desde las que proyectó al plano anillos de enteros de cuerpos numéricos. Una jugada que a nadie se le había ocurrido: El plano seguía siendo el escenario visible, pero la dramaturgia real ocurría fuera de él.
La evaluación automática detectó que el texto producido probablemente era correcto antes de la inspección humana detallada. Esta, sin embargo, se entregó a su verificación y depuración por parte de expertos humanos. Y no han salido aún de su asombro. La versión pública es una digestión humana, algo simplificada y en parte generalizada, de la prueba original generada por el modelo. Pero no ha sido una ocurrencia humana maquillada de posteriori. Ha sido una solución artificial autónoma.
Los matemáticos que lo han evaluado han confesado que habrían admitido sin vacilar ese trabajo en cualquier revista o incluso en el Annals of Mathematics. Y han señalado que el potencial desatado es enorme porque estos sistemas se internan durante más tiempo en aguas conceptualmente peligrosas sin saturarse del mismo modo que un investigador humano. Juegan, como AlphaGo, partidas inverosímiles que parecen ridículas a ojos de su oponente humano, pero que a la larga descubren un pastel desconcertantemente genial y ganador. Algunos se emocionaron por el resultado en sí, y no tanto por el síntoma de lo que podría venir. Tanto, que en seguida han surgido en estos mismos días algunos autores que han corrido a afinar esta aproximación para avanzar más en la acotación del problema completo. Cuando la IA abre caminos plausibles dentro del bosque matemático, los humanos salimos corriendo a recorrerlos. Hasta que vuelva a superarnos, la máquina no clausurará el oficio matemático sino que lo catapultará. Y al resto de mortales, tras él.
Porque en las matemáticas no cabe la subjetividad ni la discusión estética sobre la calidad artística de la generación de poemas, textos, imágenes o vídeos. La verificación es implacable. Y este caso ofrece un ejemplo de creatividad verificable, profundamente estimulante para la física teórica, la química, la biología matemática o el diseño algorítmico avanzado. Las matemáticas son el canario de la mina epistémica. Lo que ocurra en ellas anticipa, con bastante probabilidad, lo que puede pasar en otras ciencias formales y cuantitativas. Esta vez ha sido la IA la que ha tomado el relevo de Hilbert y de Erdős, abriendo con sus planteamientos, campos y preguntas que ensanchan el porvenir de una disciplina. Aunque siga abierta la pregunta de cuánto de este éxito dependerá de las clases concretas de problemas, fáciles de verificar y especialmente receptivos a ideas combinatorias o aritméticas, y cuánto podría trasladarse a zonas donde dominar un problema exigiría construir teoría nueva durante años. Ahí estará probablemente la próxima frontera.
Gracias por leerme.
Publicó más de 1.500 artículos a lo largo de su vida, comenzando a los 19 años, y un tercio de ellos los hizo en colaboración con otros matemáticos. Tanto, que se convirtió en guiño de la comunidad matemática hablar del número de Erdős que mide en niveles la cercanía al prolífico matemático a través de sus coautores.
Antes de que naciera, sus dos hermanas, de tres y cinco años, murieron de escarlatina, una ausencia familiar que lo convirtió desde el principio en hijo único superviviente; poco después, durante la Primera Guerra Mundial, su padre fue capturado como prisionero austrohúngaro y pasó seis años en Siberia, mientras su madre sostenía sola el hogar. Más tarde, ya adulto y judío húngaro, tuvo que abandonar Europa en 1938 ante el avance del antisemitismo y la amenaza totalitaria. La tragedia mayor llegó durante la Segunda Guerra Mundial: varios miembros de su familia, entre ellos dos tías, dos tíos y su padre, murieron en Budapest; su madre fue la única superviviente cercana. Erdős vivía entonces en Estados Unidos, a salvo físicamente pero desgajado de su mundo de origen.
Aunque no resulte intuitivo, dos poliedros de igual volumen no siempre pueden descomponerse en un número finito de piezas para recomponer uno en el otro.
Por ejemplo, la clarificación de los límites de la computabilidad — muy vinculada al décimo problema — ayudó a fundar la informática teórica, sin la cual no existirían los lenguajes de programación, los compiladores, la verificación de software o la comprensión moderna de qué tareas puede automatizar una máquina y si la IA llegará a reproducir una mente como la humana. Por su parte, la formalización matemática de la probabilidad — en la estela del sexto problema — sostiene hoy la estadística industrial, los seguros, la econometría, los modelos de riesgo financiero, el aprendizaje automático, la inferencia bayesiana y buena parte de la ciencia de datos. Asimismo, el desarrollo de los grupos de Lie y de la teoría de simetrías — relacionado con el quinto problema — ha sido esencial para la física moderna, desde la mecánica cuántica hasta la física de partículas, con efectos indirectos en semiconductores, resonancia magnética, láseres, telecomunicaciones y tecnologías de imagen. Por otro lado, la teoría de números — impulsada por problemas como el séptimo y el octavo — alimentó el ecosistema intelectual del que brotan la criptografía moderna, la seguridad de las comunicaciones digitales, las firmas electrónicas y la banca online. Y en general los avances en sistemas dinámicos — asociados a cuestiones como el decimosexto problema — han terminado filtrándose en control automático, ingeniería, biología matemática, circuitos, navegación y modelización de fenómenos no lineales.
El resultado para cada caso sería:
En concreto algo como:
También se lograron para el número e, la constante de Catalan, valores de la zeta de Riemann, etc.
Para los más cafeteros: En teoría de nudos, ayudó a descubrir una conexión nueva entre invariantes geométricos y algebraicos; en teoría de representaciones, sugirió una vía concreta hacia la conjetura de invariancia combinatoria para polinomios de Kazhdan-Lusztig en grupos simétricos.
En concreto, el de dimensión 8, para el que llegó a alcanzar una solución con un tamaño de 512.
Noga Alon, Thomas Bloom, Tim Gowers, Daniel Litt, Arul Shankar, Jacob Tsimerman, Victor Wang y Melanie Matchett Wood.