La obstinación de los sesenta

Origen y persistencia del sistema sexagesimal

Dicen que incluso el peor minuto de tu vida solo dura sesenta segundos.

Pero el mejor no tiene una duración distinta.

Hasta el tuétano de nuestra existencia cotidiana, entre lo mejor y lo peor, ha penetrado este sistema sexagesimal con que medimos el tiempo y los ángulos desde los que enfocamos la realidad. Se ha incrustado en nuestras vidas petrificándose, como una reliquia que habitamos casi intuitivamente. Cada vez que miramos un reloj o pensamos en grados, minutos y segundos, volvemos a aquella gramática que la Antigüedad nos inoculó y que ha sobrevivido a la omnipresencia decimal que todo lo ha cuadriculado en potencias de diez, aupada por nuestra aún más intuitiva decena dactilar.

Esa persistencia obstinada se aprecia con nitidez, como un bastión inexpugnable que se resiste cuando alguien intenta abordarlo y domesticarlo. La Francia revolucionaria por ejemplo quiso llevar la ambición decimal muy lejos, tratando de racionalizar el desafío de la sincronía: semanas de diez días, meses reconfigurados, pesos y medidas decimalizados… y, también, el día partido en 10 horas, cada hora en 100 minutos, cada minuto en 100 segundos. Su reforma pretendió reeducar la percepción diaria con la misma lógica que reordenaba las unidades, el orden social e incluso la religión; aun así, el tiempo decimal tuvo una vida frágil¹. Un sedimento histórico insobornable hizo buena aquella idea de Ortega de que el hombre no tiene naturaleza sino historia.

Aunque como los sesenta resistieron tan tenazmente, algunos sospecharon si no podrían hallarse bajo ellos fundamentos tan biológicos como los que nutren el sistema decimal basado en los diez dedos de nuestras manos. Porque, efectivamente, al sistema decimal acudimos en cuanto nos alejamos de nuestra medida y tamaño, de nuestro mesocosmos. Heredado del mundo indoarábigo e impuesto desde la Francia revolucionaria, ese sistema sí logró resultar el más eficiente: En lo macro, cuando hablamos de cantidades enormes de años, abandonamos el sistema sexagesimal para adentrarnos en siglos, milenios, millones de años… En lo micro, cuando hablamos de cantidades inferiores al segundo, volvemos a abandonar el universo sexagesimal para adentrarnos en las subdivisiones de las décimas, centésimas, milésimas y potencias de diez de exponente negativo hasta el tiempo de Planck, ese parpadeo indivisible de Cronos.

Y, sin embargo, aunque la aceptación prácticamente universal del sistema decimal se impuso en la mayoría de campos de medida como las distancias, las superficies, los volúmenes, las intensidades y las más variopintas magnitudes como la masa, la luminosidad o la temperatura... el sistema sexagesimal siguió entre nosotros como un fósil bien vivo asociado a la misma vida social que lo emplea y como sostén de las enemistades más antagónicas como la que opusieron frente a los franceses los británicos². Porque cambiar la unidad de medida de la masa o de la distancia para implantar el metro o el kilogramo exigía recalibrar instrumentos. Pero cambiar el reloj exigía recalibrar la vida.

Y os voy a contar por qué en poco más de diez minutos.

Un ábaco de falanges

Para hablar de la persistencia del sistema sexagesimal, suele comenzarse popularmente por donde empezó casi todo conteo humano: el propio cuerpo. La teoría popular más conocida es ingeniosa y, sobre todo, táctil. Si al mirar a una mano excluimos el pulgar y lo usamos para andar apuntando al resto de los cuatro dedos, observamos que en cada uno de ellos tenemos tres falanges apreciables. El pulgar puede recorrer como un contable esas doce zonas labradas en piel (4 × 3 = 12). Con la otra mano contamos cuántas docenas llevamos, alcanzando un máximo de cinco que nos hace aterrizar en el número de cabecera: 12 × 5 = 60. Esta técnica suele presentarse como una explicación intuitiva de la base 12 y su vecindad con la base 60. Y se describe explícitamente en diversos trabajos que han documentado el conteo en distintas regiones como en Egipto, Siria, Turquía, Irak, Irán y Afganistán, Pakistán, Indochina e India.

Ahora bien, el cuerpo no impone una sola aritmética. La investigación en cognición cultural subraya que el conteo con los dedos se concreta de formas distintas dentro del repertorio de lo posible. Existen sistemas que no usan dedos completos, usan segmentos, bordes entre segmentos o incluso otras partes del cuerpo. La mano es un teclado y cada cultura decide la tonalidad y la escala en la que toca. Por eso, el origen y la persistencia del sistema sexagesimal no pueden reducirse sólo a este curioso artilugio dactilar.

Se apunta, acaso, a otra razón aún más elemental. Y es que si contamos es ante todo para hacer que lo contable pueda repartirse. Para intercambiar. Para negociar. Para registrar. Quizá el cuerpo pudiera ofrecer algunas facilidades para que emergiera el sistema sexagesimal cuyas raíces biológicas se hunden en la oscuridad de lo irrecuperable. Pero aquel registro esencial que constituye la historia y que nos brinda la mayor parte de las evidencias que la hacen posible pudo tener mucho que ver con la emergencia de este sistema. Porque empezamos a escribir esa historia contando.

Mesopotamia y el giro contable de la escritura

La fascinante historia de la aparición de la escritura está íntimamente relacionada con el intercambio económico. Y ambos dos acontecimientos, ofreciéndonos las primeras huellas firmes, nos muestran indicios de la versatilidad del sistema sexagesimal entrando en la burocracia más temprana. Las cuentas de granos, tierras, raciones y registros incentivaron la emergencia de esta revolución de la información que encontró en el sistema sexagesimal un aliado poderoso. Muchos son los autores que han documentado cómo el crecimiento urbano y la economía de excedentes se acompañaron de dispositivos contables. Y la cultura sumeria — considerada por muchos como la primera civilización que nos brindó el sistema de escritura cuneiforme — se halla probablemente en el origen del sistema sexagesimal más fecundo. Aunque en origen los sumerios empleaban un sistema de base 12, sus culturas colindantes usaban una base 5 coherente con los dedos de una mano. Las alianzas y el comercio multiplicaron ambas bases hasta los 60, creando una superestructura numérica estable y profundamente fluida.

Es cierto que, lejos de este relato lineal y simplificado de aquel tiempo mesopotámico, durante mucho tiempo no hubo un único sistema numérico “puro”. Había sistemas metrológicos diversos (para áreas, capacidades, pesos…), cada uno con sus unidades fraccionarias y convenciones; incluso dentro de la escritura proto-cuneiforme coexistieron varios sistemas numéricos. Las metrologías siguieron siendo contextuales y usaron muchas bases diferentes. Pero fueron progresivamente observando una tendencia a la sexagesimalización y al trenzado de relaciones entre metrologías. ¿Por qué? Porque el sistema sexagesimal ofrecía ventajas diferenciales.

El sexagesimal pudo expandirse como un “lenguaje puente” de conversión y no tanto como una invención repentina. Fue en cierto modo un esperanto espontáneo de los idiomas contables, una sedimentación en la que muchos procesos — contables, administrativos, redistributivos — acabaron encontrándose.

Aunque el origen sea brumoso, las ventajas funcionales del sesenta son nítidas. El 60 es una navaja suiza aritmética, que tiene mil usos. Un tratamiento histórico de la matemática mesopotámica subraya dos rasgos prácticos: el sistema encaja bien para expresar números grandes en documentos administrativos y hace más fácil la división, porque 60 es divisible por 12 divisores distintos, tremendamente asequibles para el cálculo mental: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60. Y no es una oferta menor: En un mundo sin decimales estandarizados, sin notación algebraica moderna y con fracciones omnipresentes en reparto y medición, el ahorro cognitivo es enorme. Tanto, que hoy lo seguimos empleando en todo tipo de productos como los huevos, los pasteles o las rosas que compramos por docenas o medias docenas, porque comercialmente resultan mucho más fáciles de repartir y de contar, incluso como los puntos en el tenis³.

Ese salto práctico se volvió aún más visible cuando el sistema sexagesimal pasó de contar a calcular. El problema más grande de los sistemas metrológicos antiguos era la traducción entre ellos. La ingeniería administrativa encontró un procedimiento para convertir medidas a múltiplos y fracciones sexagesimales de una unidad base, ejecutar el cálculo en base 60, y luego volver a las unidades metrológicas apropiadas. En vez de imponer una unidad única para todo, descubrió un espacio común de cálculo. La lengua franca de los distintos sistemas numéricos. Y como el griego del helenismo, el latín romano o el inglés contemporáneo, durante mucho tiempo el sistema sexagesimal prevaleció como telón de fondo ecuménico.

El conteo sexagesimal comenzó apoyándose en una serie progresiva de unidades (1, 10, 60, 600…), probablemente incluso antes de la aparición formal de la escritura; y después continuó en la escritura proto-cuneiforme (3.300 a. C.). Entonces, hacia el periodo neo-sumerio (2.000 a. C.), se produjo la “invención” de la notación posicional sexagesimal: Este paso crucial estableció lo que hoy conocemos como un sistema de valor posicional sin punto decimal explícito, inferido por el contexto. Es decir, que el valor de los números dependa de la posición que ocupan y la coma que empleamos para separar las unidades de sus decimales sea “flotante”, como se hace en la codificación digital y en la programación de software. La muestra más antigua de este tipo de representación sexagesimal parece que se sitúa en el periodo Ur III (2.100–2.000 a. C.), del que hemos recuperado registros totales en sexagesimal posicional asociados a números tradicionales de peso. Aun sin un cero plenamente operativo, la escritura en columnas por potencias ayudaba asimismo a desambiguar posiciones.

La potencia para el cálculo fue expandiéndose y nos dejó rastros memorables. En el periodo paleobabilónico (1.700 a. C.), los números posicionales comenzaron a usarse para todo tipo de cálculos, con una sofisticación admirable. Por ejemplo en la célebre tablilla YBC 7289 (1.800–1.600 a. C.) en la que aparece un diagrama geométrico y una aproximación numérica al escurridizo valor de la √2 — un desconcertante irracional⁴ —, que es correcta hasta los tres “sexagesimales” (lo que equivale a seis decimales). Como puede verse en la imagen inferior, la tablilla muestra un cuadrado con sus dos diagonales, que es probablemente la mejor forma de representar ese valor (la raíz de dos es el valor de la diagonal de un cuadrado de lado uno). En la tablilla, un lado del cuadrado está marcado con el número sexagesimal 30. La diagonal del cuadrado está marcada con dos números sexagesimales. El primero de ellos, 1;24;51;10 representa el número 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ ≈ 1,414213, una aproximación numérica de la raíz de dos que tiene un error menor a uno entre dos millones. El segundo es el número sexagesimal 42;25;35, que equivale a 42 + 25/60 + 35/60² ≈ 42,426. Este número es el resultado de multiplicar treinta por la aproximación de la raíz de dos, es decir, la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 30:

Fuente

Todo esto encaja con una idea más fuerte que la mera divisibilidad: el sexagesimal no era solo un modo de representar cantidades. Era una tecnología de fracciones capaz de calcularlo casi todo. Incluso hasta atrevernos a alcanzar el cielo.

Del cielo al compás

La predominancia del sistema sexagesimal se extendió desde Mesopotamia a toda la región del Creciente fértil. Y, como bien nos contaba Miguel García Álvarez, fueron los egipcios quienes establecieron gracias a este sistema que el día tenga 24 horas. Hacia el año 1.500 a. C., formalizaron la división del día completo en dos grandes períodos, con 10 horas principales de luz flanqueadas por 2 horas adicionales para el amanecer y para el atardecer, respectivamente, completando un total de 12; y dejando para la noche otras doce partes presididas por 12 estrellas específicas, llamadas decanos, que asomaban por el horizonte según discurría la oscuridad. Aunque la duración de las horas fue variable según la época del año, finalmente en tiempos griegos se igualaron, tomando su medida precisamente en ese momento del año en el que el día y la noche duran lo mismo, es decir, en los equinoccios.

Pero fue mirando al cielo, y particularmente a través de la astronomía mesopotámica, como el sistema sexagesimal encontró un amplificador aún más potente. Una vez dispusieron de un sistema que permitía fracciones manejables, el cielo se volvió calculable. En el siglo V a. C., los babilonios construyeron el zodiaco dividiendo la trayectoria del Sol a lo largo del cielo en doce secciones de treinta grados en las que identificaron distintas constelaciones. Ese sistema de coordenadas se empleó después para predecir fenómenos lunares y planetarios generando un corpus de astronomía matemática que nos dejó durante siglos numerosísimos registros que resultaron muy útiles para la posteridad. Sin subirse a aquellos hombros, es difícil que Ptolomeo, Copérnico, Kepler o Newton hubieran llegado a ver tan lejos como alcanzaron.

Además, los babilonios observaron que el Sol tardaba aproximadamente 360 días en volver a la misma posición del cielo. A su vez, la Luna completaba unos 12 ciclos completos en ese periodo. Así fijaron el año solar y la duración de los meses, forzando la evidencia cual cama de Procusto, para obtener un “calendario ideal” administrativo de 12 meses de 30 días, que produce un ciclo de 360 días, lo que resultaba particularmente útil y económico. Y propagaron esa cifra para dividir el día (de puesta a puesta) en 12 unidades, a su vez, subdivididas en 30 unidades, dando un total de 360 subdivisiones. Así que el 360 nació de múltiples frentes en una economía de registro: contar días, ubicar posiciones y afinar tiempos observacionales.

El viaje hacia nuestra geometría y en particular a la trigonometría que opera sobre los ángulos pasó después por el mundo griego. Cuando Hiparco de Nicea (s. II a. C.) y sus coetáneos necesitaron medir ángulos para aplicar la geometría a las observaciones astronómicas, siguieron la división babilónica de la eclíptica — esa línea del cielo por la que discurren el sol y los planetas — en 360 partes, y la trasladaron al círculo en general: los ángulos que manejaban los griegos se dejaron cortejar por aquella cifra mágica heredada de la astronomía babilónica. Y, así, la notación sexagesimal inoculó su encanto y se perpetuó en la medición angular y la temporal.

Los romanos sólo acabaron poniendo el nombre final que hemos heredado en multitud de lenguas: La palabra minuto proviene del latín pars minuta prima (primera parte pequeña), indicando la primera división de la hora en 60 partes. Por su parte, la palabra segundo proviene de pars minuta secunda (segunda parte pequeña), que hace referencia a la segunda división consecutiva por 60. Y de Roma, al mundo.

Para construir un mapa de Europa con la traducción de un término, esta web.

En síntesis: el sistema sexagesimal se convirtió en una herramienta útil para domesticar el cielo, trazando un puente entre lo contable y lo continuo. Entre las tablas de la contabilidad, el tiempo y el cielo. Y, como siempre, esta historia nos deja unas cuantas reflexiones.

Lo que elegimos contar

El sistema sexagesimal se consolidó por nuestra necesidad de contar, medir y redistribuir de forma sencilla — económica — allí donde las conversiones entre sistemas metrológicos empujaron a crear un “espacio común” de cálculo en base 60. Aunque cada cultura siempre trate de imponer las ventajas que encuentra en sus prácticas y expresiones enriqueciendo la competencia humana, de la cooperación — como el intercambio económico — también surgen formas superiores, como el sistema sexagesimal que enriqueció el sistema sumerio con el de sus vecinos. Forzar las cosas, como en el esperanto, no suele traer buenos réditos.

Y eso se observó, especialmente, con la experiencia fallida de la Francia revolucionaria que nos enseña que las tradiciones culturales no obedecen sólo a inercias contingentes manipulables mediante la ingeniería social, sino a razones profundas, no solo ancladas en históricas tradiciones, sino arraigadas en las matemáticas más elementales y en nuestras innatas capacidades mentales. Si el sistema decimal es un gran idioma para contar objetos idénticos, el sexagesimal es un dialecto excepcional para repartir y medir continuos. Y cuando un dialecto resuelve una clase de problemas con menos fricción, puede sobrevivir incluso a las revoluciones más jacobinas.

En cualquier caso, enhebrar una historia de este tipo también nos muestra que, cuando tratamos de remontarnos en la genealogía de un sistema tan antiguo como el sexagesimal, la evidencia histórica y la especulación verosímil desdibujan sus fronteras. Es entonces cuando nos resultan más plausibles las explicaciones multicausales y progresivas, que impiden la simplificación narrativa, la historia de los saltos abruptos, con señalados inventores o grandes innovaciones puntuales sorprendentes. La historia de las falanges no agota el fundamento del sistema sexagesimal. La nuestra — y casi cualquiera — suele ser una historia de sedimentación estructurada y progresiva entre lo contingente y lo necesario.

Y entre lo contingente y lo necesario coagulan distintos sistemas según sean las necesidades que atienden. Aunque el sexagesimal es imbatible en una cultura centrada en el intercambio y el reparto, y por tanto, todavía útil para dividir de manera asequible el tiempo, la geometría, las rosas, los huevos o los churros, el sistema decimal es ampliamente superior en casi todos los demás aspectos de la vida moderna. Su superioridad radica, probablemente, en la simplicidad cognitiva, la eficiencia operativa y su perfecta adaptación a las matemáticas abstractas. Al fin y al cabo, el decimal simplifica las matemáticas cotidianas al solo exigir memoria para 10 símbolos (del 0 al 9) y requerir tablas de multiplicar pequeñas. Además de que ofrece una escalabilidad inmediata que permite multiplicar o dividir por la base de forma infinita con el simple “truco” de añadir ceros o desplazar la coma, evitando los tediosos cálculos de división entre 60, 3.600 o 216.000 que requiere el sistema sexagesimal propio de los babilonios. Pero para eso hizo falta que los árabes nos trajeran de la India el maravilloso y sorprendente invento del cero. Una magnífica historia a la que otro día habrá que dedicarle una publicación.

Hoy ya nos hemos pasado de hora.

Gracias por leerme.

1. El 5 de octubre de 1793, la Convención Nacional Francesa aprobó el decreto que establecía los principios básicos del tiempo decimal. El 24 de noviembre de ese mismo año se publicaba el texto definitivo de la ley que daba de plazo hasta el 22 de septiembre de 1794 a partir del cual el uso de la hora decimal sería estrictamente obligatorio para todos los registros públicos y la vida civil. Para facilitar la transición, se construyeron relojes duales y se hicieron concursos para adaptar relojes y esferas. Pero muy pronto su impopularidad hizo inviable este sistema horario decimal: no ofrecía apenas ventajas y había de ir contra una corriente antiquísima. Porque, además, una semana de diez días había espaciado más los días de descanso para los trabajadores, al ser uno de cada diez, en lugar de uno de cada siete. 17 meses después dejó de ser obligatorio. De hecho, el 7 de abril de 1795, una ley estableció el sistema decimal para pesos, medidas y moneda — que triunfaría —, y al mismo tiempo liquidó la idea de decimalizar el tiempo. Eso no impidió que los franceses volvieran a intentarlo en 1897 con una nueva “Comisión de decimalización del tiempo”, respetando los días de 24 horas, pero dividiéndolas en 100 minutos y estos a su vez en 100 segundos. Pero la propuesta, de nuevo, se abandonó apenas tres años después.

2. Ya se sabe que el Reino Unido se resistió particularmente a la normalización decimal procedente de la archienemiga Francia. Tanto, como para que su moneda evitase adoptar el sistema decimal hasta 1971. Pero en el corazón de aquella resistencia también se hallaba el sistema sexagesimal. Aunque su estructura matemática nos resulte demencial, la división monetaria se basaba en las mismas virtudes que la divisibilidad ofrece en el sistema sexagesimal: una libra equivalía a 20 chelines, y un chelín equivalía a 12 peniques. Una libra, por tanto, eran exactamente 240 peniques, un número elegido por la enorme cantidad de formas en que se podía dividir para pagar e intercambiar productos. Que un “pie” siga teniendo exactamente 12 “pulgadas” no es tampoco casualidad.

3. Aunque existen discrepancias históricas, una de las teorías más aceptadas sobre la puntuación del tenis (15, 30, 40) proviene del sistema sexagesimal y el uso de relojes astronómicos para llevar los puntos. Cada punto movía la aguja un cuarto de vuelta (15, 30, 45). El 45 se redujo posteriormente a 40 por comodidad al cantar los puntos a viva voz y dar margen al sistema de “ventajas”.

4. Para los escribas mesopotámicos, los números irracionales de infinitas cifras decimales eran un simple problema práctico de ingeniería que resolvían mediante aproximaciones útiles. Sin embargo, siglos después, entre los griegos que buscaban la verdad absoluta, la escuela de los pitagóricos descubrió que esa misma diagonal era una magnitud geométricamente exacta pero aritméticamente inconmensurable, lo que les impactó como un auténtico trauma filosófico. Su mística de que todo es número entero o expresable mediante proporciones de enteros se desmoronó al toparse con un valor que no se podía expresar como una fracción, transformando lo que en Oriente era una brillante herramienta de cálculo en una crisis existencial que amenazó los cimientos de su visión del cosmos.